（小石头尝试着来回答这个问题）
用生活中通俗易懂的语言描述微积分为：
微分：圆角的桌角的局部放大后近似于平直的，于是膝盖撞上去不会很痛；
积分：土豆的体积近似等于其切出来的土豆条按照长方体计算的体积之和，土豆条切的越细，越准确。
更具体的描述如下：
微积分分为微分和积分两部分，首先，我们来讨论什么是微分？
考虑下面的两个曲线，
某些生活经验（比如：膝盖不小心撞上去的感觉）告诉我们，两个曲线在A点处的特性不同：
蓝色曲线A点处是圆润的；
绿色曲线A点处是棱角的；
进一步，我们在两个曲线A点处用直尺画一条直线，然后放大A点附近的局部：
观察发现，随着局部的不断放大，两种特性的差异表现明显，在A点处圆润的 蓝色曲线 和 直线越来越 贴近，而A点处棱角的 绿色曲线 则和 直线 毫不相干。
蓝色曲线在A点处的表现，就是微分，具体的数学描述如下：
设 蓝色曲线的对应的函数是 f(x)，A 点的 坐标是 (x, f(x))，则可以再 A 处做一个局部坐标 X'AY'：
局部坐标 X'AY' 下，蓝色曲线的函数为：
Δf(Δx) = f(x + Δx) - f(x) ①
称其为 函数 f(x) 在 A 点处的变化率，而 直线的函数为：
l(Δx) = kΔx ②
其中 k 为常数，表示直线的斜率。
根据，上面的分析，我们知道 随着 Δx 的减小，Δf(Δx) 和 l(Δx) 越来越 贴近，也就是说，它们的差 Δf(Δx) - l(Δx) 也会越来越小。那么具体，如果描述 这种 贴近呢？
很自然我们会想到：
当 Δx 趋近于 0 时， Δf(Δx) - l(Δx) 也趋近于 0。③
但是，这用来描述贴近，显然不够，因为考虑绿色曲线（上半段），
发现 Δf(Δx) - l(Δx) = (k'-k) Δx, 也满足 当 Δx 趋近于 0 时， Δf(Δx) - l(Δx) 也趋近于 0，但显然 它们不 贴近。于是我们对上面的描述，进行调整：
当 Δx 趋近于 0 时， (Δf(Δx) - l(Δx)) / Δx 也趋近于 0（即，Δf(Δx) - l(Δx) 比 Δx 更快的趋近于 0） ③‘
这样，对于绿色曲线 (Δf(Δx) - l(Δx)) / Δx = (k'-k) 显然是非零常数，就被排除了。
令 o(Δx) = Δf(Δx) - l(Δx) 称 为 Δx 的高阶无穷小量，并将，③‘ 写成极限形式为：
于是最终得到：
这个公式就是 函数 f(x) 在 A 点处的微分。
由 ④, ① 和 ② 有：
等式两边取极限，再 根据 ③' 得到：
令，
称f'(x) 为 f(x) 在 A 处的导数，当 A 点取满 f(x) 的整个定义域时，称 f'(x) 为 f(x) 的导函数，f(x) 为 f'(x) 的原函数。
至此，微分就讨论完毕，接着，我们讨论什么是积分？
积分又分为：不定积分 和 定积分，先说 不定积分。
设 f(x) 是 函数 F(x) 的导函数，即，f(x) = F'(x)，现在已知 f(x) 求原函数 F(x)，令，
称为不定积分。
也就是说，不定积分，就是求导的 逆运算。
然后是，定积分 也称为 黎曼积分，我们看一则故事（本故事纯属虚构）：
自从阿基米德发明排水法后，测量不规则物体的体积已经不是问题。有一天，阿基米德去餐馆吃午餐结果忘了带钱，刚好老板也是一个数学爱好者，于是老板对阿基米德说：“如果 阿基米德先生 可以 只用 带刻度的直尺 测量出土豆的体积，这一顿就免费”。阿基米德最近正在用割圆法计算圆周率，于是很快找到了解决问题的方法：
只见他，迅速用直尺的将土豆切成土豆条，然后将每个土豆条近似当做 长方体，用 直尺量出其长宽高，进而计算出 每个土豆条的近似体积，最后将 所有 土豆条 的体积加起来就是整个 土豆的体积。
餐馆老板，提出质疑，认为 将 土豆条 近似的 当做 长方体，不准确。阿基米德，反问到：
如果，我将每个土豆条在改刀成 更细的 土豆条，是不是就更精确了？
餐馆老板，想了一想，土豆条不准确，就是因为两端是土豆的不规则表面，如果 土豆条根细，那么 规则表面的面积就会更小，误差就会更新。于是回答：是
阿基米德，接着解释：既然，将 土豆条 继续细分，就会得到更高的 精度，那么无限细分下去，总可以得到 准确的 值。
餐馆老板虽然不得不承认这个结果，仍然不满意，他认为：这样无限细分下去，无法结束，因此最终还是得不到这个 准确的 值。
阿基米德，接着说：在现实中，当然不能，但是在数学中就可以了。
可是餐馆老板，依旧不买账，正当两人争执的不可开交时，旁边桌子上，一个年轻人站了起来，说：二位不要争论了，我愿意为这位 阿基米德 先生 付钱。
于是，阿基米德吃完免费的吃午，回去继续计算他的圆周率去了。
而这个年轻人，也马上也返回了自己的住所，并按照 阿基米德 想法，用数学的方法对切土豆进行了 描述，这就是：黎曼积分。这个年轻人就是 黎曼。
最简单的黎曼积分可以用于计算 函数 f(x) 和 X 轴 在 区间 [a, b] 之间 围成的 曲边梯形 面积，
我们在 a 和 b 之间插入一系列点：
a = x₀ < x₁ < ... x_{n-1} < b = x_n
这样将 一个大的 曲边梯形 Λ = ay₀y_nb 分割为 一系列小的 曲边梯形：
δ₁, ... δ_n
其中， 任意 小曲边梯形 δᵢ = xᵢ₋₁yᵢ₋₁yᵢxᵢ 的面积近似于 小矩形 σᵢ = xᵢ₋₁y’ᵢ₋₁y‘ᵢxᵢ 的面积：
Sᵢ = f(ξᵢ) Δxᵢ
这里， ξᵢ 是 xᵢ₋₁ 和 xᵢ 之间任意一点，Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁。
于是 Λ 的 面积 S 就近似为，这些 小矩形 的 面积之和：
让，λ = max{Δx₁, ..., Δx_n} ， 则 当 λ → 0 时，S' → S，记为：
这就 黎曼积分。
注意： 黎曼积分 还可以 扩展为 勒贝格积分，但是 这 牵扯测度论，比较复杂，不适合这里讨论。
最后，是著名的 牛顿-莱布尼兹公式：
它将 不定积分 和 定积分 关联在一起。
诚如故事所述的那样，黎曼积分不仅可以用于计算曲边梯形面积，还可以计算三维物体的体积，当然还可以 计算，更高维度物体的体积，曲线的质量，物体沿曲线做的功，另外，微分也还可以扩展到 多维 函数 和 向量函数的情况，这些内容属于《多元微积分》其基本原理 和 上面 所述的《一元微积分》类似，这里就不展开讨论了。
（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎各位老师和同学批评指正！）